Центростремительное ускорение — вывод формулы и практическое применение

Ускорение, скорость и пройденный путь

Еще один способ найти линейное ускорение a¯ заключается в исследовании процесса движения тела по прямой траектории. Такое движение принято описывать такими характеристиками, как скорость, время и пройденный путь. В этом случае ускорение понимается как скорость изменения самой скорости.

Для прямолинейного перемещения объектов справедливы следующие формулы в скалярной форме:

1) aM = dv/dt;

2) acp = (v2-v1)/(t2-t1);

3) acp = 2*S/t2

Первое выражение представляет собой мгновенное ускорение, оно определяется как производная скорости по времени.

Вторая формула позволяет рассчитать среднее ускорение. Здесь рассматривается два состояния движущегося объекта: его скорость в момент v1 времени t1 и аналогичная величина v2 в момент времени t2. Время t1 и t2 отсчитывается от некоторого начального события. Отметим, что среднее ускорение характеризует в общем эту величину на рассмотренном временном промежутке. Внутри же него значение мгновенного ускорения может изменяться и значительно отличаться от среднего acp.

Третья формула ускорения в физике дает возможность определять также acp, но уже через пройденный путь S. Формула справедлива, если тело начинало движения с нулевой скорости, то есть когда t=0, v=0. Этот тип движения называют равноускоренным. Его ярким примером является падение тел в поле гравитации нашей планеты.

Вписываемся в повороты: учитываем радиус и наклон

Если вам приходилось ехать на автомобиле или велосипеде или даже бежать трусцой, то наверняка вы заметили, что в крутой поворот проще вписаться, если поверхность дороги немного наклонена внутрь поворота. Из опыта известно, что чем больше наклон, тем проще вписаться в поворот. Это объясняется тем, что в таком случае на вас действует меньшая центростремительная сила. Центростремительная сила обеспечивается силой трения о поверхность дороги. Если поверхность дороги покрыта льдом, то сила трения становится меньше и потому часто не удается вписаться в поворот на обледеневшей дороге на большой скорости.

Представьте, что автомобилю с массой 1000 кг нужно вписаться в поворот с радиусом Юм, а коэффициент трения покоя (подробнее о нем см. главу6) равен 0,8. (Здесь используется коэффициент трения покоя, поскольку предполагается, что шины по поверхности дороги.) Какую максимальную скорость может развить этот автомобиль без риска не вписаться в поворот. Итак, сила трения покоя шин о поверхность дороги ​\( F_{трение\,покоя} \)​ должна обеспечивать центростремительную силу:

где ​\( m \)​ — это масса автомобиля, ​\( v \)​ — его скорость, ​\( r \)​ — радиус, ​\( \mu_п \)​ — коэффициент трения покоя, a ​\( g \)​ = 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения под действием силы гравитации. Отсюда легко находим скорость:

(Обратите внимание, что максимальная безопасная скорость прохождения поворота не зависит от массы автомобиля. — Примеч

ред.)

Это выражение выглядит очень просто, а после подстановки в него численных значений получим:

Итак, максимальная скорость безопасного проезда при таком повороте равна 8,9 м/с. Пересчитаем в единицы “км/ч”, в которых скорость указана на спидометре, и сравним. Получается, что 8,9 м/с = 32 км/ч, а на спидометре всего 29 км/ч. Прекрасно, но далеко не все водители умеют так быстро рассчитывать безопасную скорость прохождения поворотов. Поэтому конструкторы дорог часто строят повороты с наклоном внутрь, чтобы обеспечить центростремительное ускорение не только за счет силы трения, но и за счет горизонтальной компоненты силы гравитации.

На рис. 7.3 показан пример поворота дороги с некоторым наклоном под углом ​\( \theta \)​ к горизонтали. Предположим, что конструкторы решили полностью обеспечить центростремительное ускорение только за счет горизонтальной компоненты силы гравитации (т.е. без учета силы трения) ​\( F_н\sin\theta \)​, где ​\( F_н \)​ — это нормальная сила (подробнее о ней см. в главе 6). Тогда:

В вертикальном направлении на автомобиль действует сила гравитации ​\( mg \)​, которая уравновешивается вертикальной компонентой нормальной силы \( F_н\cos\theta \):

или, иначе выражая это соотношение, получим:

Подставляя это выражение в прежнее соотношение между центростремительной силой и нормальной силой, получим:

Поскольку ​\( \sin\theta/\!\cos\theta=tg\,\theta \)​ в то

Отсюда легко получаем, что угол наклона поворота дороги ​\( \theta \)​ равен:

Именно это уравнение используют инженеры при проектировании дорог

Обратите внимание, что масса автомобиля не влияет на величину угла, при котором центростремительная сила полностью обеспечивается только горизонтальной компонентой нормальной силы. Попробуем теперь определить величину угла наклона поворота с радиусом 200 м для автомобиля, движущегося со скоростью 100 км/ч или 27,8 м/с:

Для обеспечения безопасного движения автомобиля со скоростью 100 км/ч в повороте с радиусом 200 м без учета силы трения, инженеры должны создать наклон около 22°. Отлично, из вас может получиться неплохой инженер-конструктор автомагистралей!

Что такое ускорение?

Дадим сразу определение этой величины, а затем поясним ее особенности. Под ускорением понимают быстроту, с которой изменяется скорость в каждый момент времени при движении тела. Поскольку скорость — это величина векторная, то изменяться может ее модуль и направление. Оба типа изменения описываются понятием ускорения.

Для определения мгновенного ускорения используют следующее выражение:

Взяв первую производную по времени от скорости, мы получим зависимость ускорения от t.

Помимо мгновенного ускорения (значение a¯ в конкретный момент времени), на практике часто применяют среднее ускорение. Оно определяется так:

Здесь Δv¯ — это разность скоростей в конце и в начале промежутка времени Δt. В отличие от мгновенной величины, среднее ускорение характеризует весь процесс движения, поэтому на практике оно оказывается более полезным. Очевидно, если Δt->dt, то acp¯->a¯.

Физический смысл

Если обратить внимание на поворот траектории тела, можно выделить ускорение ac→{\displaystyle {\vec {a_{c}}}}, перпендикулярное скорости. Именно это ускорение изменяет направление движения тела, поворачивая траекторию, и для образования кривизны радиуса r{\displaystyle r} на скорости v{\displaystyle v} это ускорение должно быть равно v2r{\displaystyle {\frac {v^{2}}{r}}}, или, что то же самое, ω2r{\displaystyle \omega ^{2}r}, где ω{\displaystyle \omega } — угловая скорость тела в данной точке относительно мгновенного центра поворота (связь между первой формулой и второй очевидна, учитывая что v=ωr{\displaystyle v=\omega r})

Эта составляющая ускорения называется центростремительным ускорением. Согласно второму закону Ньютона, наблюдаемое ускорение тела соответствует сумме действующих на него сил. Это верно в инерциальных системах отсчёта, а согласно принципу Д’Аламбера это, при введении соответствующих сил инерции, верно и в неинерциальных. Составляющая действующих на тело сил, соответствующая центростремительному ускорению, называется центростремительной силой (Fc→=mac→{\displaystyle {\vec {F_{c}}}=m{\vec {a_{c}}}}).

Центростремительная сила не является самостоятельной силой и представляет собой лишь результат формального разложения суммы всех действующих на тело сил на две составляющие — вдоль и поперёк касательной к траектории движения. В случае установившегося (то есть при постоянной угловой скорости) движения тела по круговой траектории за счёт единственной силы, действующей в направлении центра вращения (например, силы натяжения нити, связывающей тело с центром, или при движении по круговой орбите в поле силы гравитации), вся эта сила является центростремительной. Она направлена перпендикулярно к вектору скорости, работы за полный круг не совершает, кинетическая энергия тела не изменяется. Такое движение может продолжаться неограниченно долго.

В общем случае, при движении по любой траектории, отличающейся от круговой, центр поворота не лежит на направлении суммы действующих на тело сил. Так, например, при движении Земли вокруг Солнца по своей эллиптической орбите, действующая на Землю сила взаимного тяготения Земли и Солнца полностью становится центростремительной лишь в афелии и перигелии. При этом тангенциальная составляющая силы реакции связи, совершает работу, ведущую к увеличению кинетической энергии тела (при разгоне) или уменьшению её (при торможении). Это периодически имеет место во Вселенной при движении небесных тел по кеплеровским эллиптическим орбитам вокруг общего центра тяготения, поскольку работа сил связи за полный оборот равна нулю. Так же, за счёт систематического опережения мгновенного центра вращения смещением точки приложения силы, раскручивают, например, пращу.

Так же как скорости, ускорения и траектории тел зависят от выбранной системы отсчёта, от выбора системы отсчёта зависит и то, какую часть суммы сил понадобится считать центростремительной. В частности, переходя в систему отсчёта, связанную непосредственно с движущимся телом, мы естественным образом сводим траекторию в неподвижную точку в центре системы отсчёта, и, соответственно, не можем в контексте этой системы отсчёта говорить ни о центростремительном ускорении данного тела, ни о соответствующей силе. И наоборот, перейдя в систему отсчёта, вращающуюся относительно тел, мы в ней получаем криволинейные траектории этих тел, соответствующие центростремительные ускорения и, соответственно, центростремительные силы.

С понятием «центростремительная сила» и переходом из инерциальной системы отсчёта во вращающуюся неинерциальную, тесно связано понятие «центробежная сила».

В связи со сложностью понимания переходов из одной системы отсчёта в другую, особенно если они движутся относительно друг друга с динамически меняющимся ускорением, понятия центростремительной и центробежной сил вызывают многочисленные споры и недоразумения.

Формула

Величина центростремительной силы на объекте массы m перемещающийся на тангенциальной скорости v вдоль пути с радиусом искривления r:

где центростремительное ускорение.

Направление силы находится к центру круга, в который объект перемещается, или osculating круг, круг, что лучшие судороги местный путь объекта, если путь не круглый.

Скорость в формуле согласована, поэтому дважды, скорости нужна четыре раза сила. Обратная связь с радиусом искривления показывает, что половина радиального расстояния требует дважды силы. Эта сила также иногда пишется с точки зрения угловой скорости ω объекта о центре круга:

Выраженное использование периода для одной революции круга, T, уравнение становится:

В ускорителях частиц скорость может быть очень высокой (близко к скорости света в вакууме), таким образом, та же самая масса отдыха теперь проявляет большую инерцию (релятивистская масса), таким образом, требование большей силы для того же самого центростремительного ускорения, таким образом, уравнение становится:

Где фактор Лоренца определен как:

Центростремительное ускорение

Формула для расчета центростремительного ускорения:

$a_n = \frac{v^2}{R}$,

где $v$ — мгновенная скорость, $R$ — радиус кривизны траектории.

Выразив мгновенную скорость из угловой как

$v = \omega \cdot R$

и подставив в формулу, найдем центростремительное ускорение как

$a_n = \frac{(\omega \cdot R)^2}{R} = \omega^2 \cdot R$

Основы теории о центростремительном ускорении заложил голландский физик Христиан Гюйгенс (1629 — 1695 гг.). В своем сочинении «Маятниковые часы» он не только изложил инженерные расчеты, необходимые для изготовления хронометров, но и сформулировал физические законы циклического движения. В частности, Гюйгенс открыл зависимость периодичности колебаний маятника от длины подвеса, описал явление изохронности ввел понятие центробежной силы и центростремительного ускорения. Это дало толчок не только прикладной механике, но и развитию теории о движении небесных тел, повлиявшей, в частности, на научные взгляды Исаака Ньютона.

Особенностью кругового движения является то, что даже если точка движется по окружности со скоростью неизменной величины (тангенциальное ускорение равно нулю), ее суммарное ускорение не равно нулю, поскольку направление вектора скорости всё время меняется. В этом заключается физический смысл центростремительного ускорения.

Геометрически центростремительное ускорение можно выразить следующим образом. Рассмотрим окружность, по которой движется точка.

Рисунок 1. Центростремительное ускорение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Выберем в качестве ее начального положения верхнюю точку. При этом вектор мгновенной скорости $\vec{v_1}$ будет направлен горизонтально. Когда точка пройдет некоторую дугу, вектор мгновенной скорости $\vec{v_2}$ окажется наклоненным к первому под углом $\varphi$, который равен пройденному угловому расстоянию. Таким образом, центростремительный вектор окажется основанием равнобедренного треугольника с углом при вершине $\varphi$ и стороной $\bar{v_A} = \bar{v_B}$. Обозначим длину основания этого треугольника как $\Delta v$. Подобный треугольник со стороной $R$ мы видим внутри окружности. Его вершина соответствует ее центру. Приняв, что при достаточно малом $\varphi$ длины дуги и хорды между точками $A$ и $B$ приблизительно совпадают, найдем из подобия треугольников, что

$\frac{R}{v \cdot \Delta t} \approx \frac{v}{\Delta v}$,

где $v \cdot \Delta t$ — путь, пройденный точкой по дуге, почти совпадающей с хордой.

Формулу можно преобразовать следующим образом:

$\frac{\Delta v}{\Delta t} \approx \frac{v^2}{R}$

Учитывая малое пройденное угловое расстояние (при $\Delta t$ стремящемся к нулю), можно считать вектор $\vec{\Delta v}$ направленным к центру окружности. Следовательно,

$\vec{a_n} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}; \Delta t \to 0; a_n = \frac{v^2}{R}$

Замечание 2

Хорошим способом представить себе центростремительное ускорение является конкретный пример. Центростремительное ускорение Земли, вращающейся вокруг своей оси, составляет $0,03 м/с^2$. Это значит, что в его отсутствие почва «уходила бы у нас из под ног» со скоростью 3 см/с.

Пример 1

Велосипедист едет по дороге со скоростью 10 м/с. Какое центростремительное ускорение точки обода колеса, если его радиус 35 см?

Подставим в формулу центростремительного ускорения числовые значения:

$a_n = \frac{{10}^2}{0,35} = 285 m/c^2$

Ответ: 285 метров в секунду.

Меняем направление: центростремительное ускорение

При вращательном движении по окружности линейная скорость мячика постоянно меняет направление, как показано на рис. 7.2. Ускорение, характеризующее такое изменение скорости, называется центростремительным (или центробежным). В любой точке вращательного движения с постоянной величиной и меняющимся направлением вектор линейной скорости перпендикулярен радиусу.

Если в показанных на рис. 7.2 положениях нить, удерживающая мяч, оборвется, то куда полетит мяч? Если в этот момент вектор линейной скорости направлен влево, то мяч полетит влево, а если этот вектор направлен вправо, то мяч полетит вправо, и т.д. Этот, казалось бы, простой и интуитивно понятный момент часто вызывает трудности у тех, кто впервые постигает физику.

Управляем скоростью с помощью центростремительного ускорения

Особенностью равномерного вращательного движения является постоянство величины линейной скорости. Это значит, что вектор ускорения не имеет компоненты, параллельной вектору линейной скорости, поскольку в противном случае величина линейной скорости менялась бы. Однако при равномерном вращательном движении меняется только направление линейной скорости. Такое изменение линейной скорости поддерживается центростремительным ускорением, направленным к центру окружности вращения и перпендикулярно вектору линейной скорости.

В примерах на рис. 7.1 и 7.2 на мяч со стороны нити действует сила натяжения нити, которая поддерживает его движение по окружности. Именно эта сила сообщает мячу центростремительное ускорение ​\( a_ц \)​, вектор которого показан на рис. 7.1. (Попробуйте раскрутить мяч с помощью привязанной к нему нити, и вы сразу же почувствуете действие этой силы со стороны нити.)

Часто возникает вопрос: если вектор ускорения мяча направлен к центру окружности, то почему мяч не движется к центру? Дело в том, что при равномерном вращательном движении это ускорение меняет только направление, а не величину линейной скорости.

Определяем величину центростремительного ускорения

Нам уже известно направление вектора центростремительного ускорения, а чему же равна его величина? Итак, величина центростремительного ускорения объекта, равномерно движущегося с линейной скоростью ​\( v \)​ по окружности с радиусом ​\( r \)​, равна:

Как видите, величина центростремительного ускорения обратно пропорциональна радиусу окружности ​\( r \)​ и прямо пропорциональна квадрату скорости ​\( v \)​. Поэтому не удивительно, что автомобиль на более крутых поворотах испытывает более сильное центростремительное ускорение.

ФизикаУчебник для 10 класса

§ 1.26. Равномерное движение точки по окружности. Центростремительное ускорение

Характерные особенности этого движения содержатся в его названии: равномерное — значит с постоянной по модулю скоростью (и = const), no окружности — значит траектория — окружность.

Равномерное движение по окружности

До сих пор мы изучали движения с постоянным ускорением. Однако чаще встречаются случаи, когда ускорение изменяется.

Вначале мы рассмотрим простейшее движение с переменным ускорением, когда модуль ускорения не меняется. Таким движением, в частности, является равномерное движение точки по окружности: за любые равные промежутки времени точка проходит дуги одинаковой длины. При этом скорость тела (точки) не изменяется по модулю, а меняется лишь по направлению.

Мы по-прежнему будем считать тело настолько малым, что его можно рассматривать как точку. Для этого размеры тела должны быть малы по сравнению с радиусом окружности, по которой движется тело.

Среднее ускорение

Пусть точка в момент времени t занимает на окружности положение А, а через малый интервал времени Δt — положение А1 (рис. 1.82, а). Обозначим скорость точки в этих положениях через и 1. При равномерном движении v1 = v.

Рис. 1.82

Для нахождения мгновенного ускорения сначала найдем среднее ускорение точки. Изменение скорости за время Δt равно Δ и = 1 — (см. рис. 1.82, а).

По определению среднее ускорение равно

Центростремительное ускорение

Задачу нахождения мгновенного ускорения разобьем на две части: сначала найдем модуль ускорения, а потом его направление. За время Δt точка А совершит перемещение = Δ.

Рассмотрим треугольники ОАА1 и А1СВ (см. рис. 1.82, а). Углы при вершинах этих равнобедренных треугольников равны, так как соответствующие стороны перпендикулярны. Поэтому треугольники подобны. Следовательно,

Разделив обе части равенства на Δt, перейдем к пределу при стремлении интервала времени Δt —» 0:

Предел в левой части равенства есть модуль мгновенного ускорения, а предел в правой части равенства представляет собой модуль мгновенной скорости точки. Поэтому равенство (1.26.1) примет вид:

Отсюда

Очевидно, что модуль ускорения при равномерном движении точки по окружности есть постоянная величина, так как v и г не изменяются при движении.

Направление ускорения

Найдем направление ускорения . Из треугольника A1CB следует, что вектор среднего ускорения составляет с вектором скорости угол β = . Но при Δt —> О точка А1 бесконечно близко подходит к точке А и угол α —» 0. Следовательно, вектор мгновенного ускорения составляет с вектором скорости угол

Значит, вектор мгновенного ускорения а направлен к центру окружности (рис. 1.82, б). Поэтому это ускорение называется центростремительным (или нормальным1).

Центростремительное ускорение на карусели и в ускорителе элементарных частиц

Оценим ускорение человека на карусели. Скорость кресла, в котором сидит человек, составляет 3—5 м/с. При радиусе карусели порядка 5 м центростремительное ускорение а = ≈ 2—5 м/с2. Это значение довольно близко к ускорению свободного падения 9,8 м/с2.

А вот в ускорителях элементарных частиц скорость оказывается довольно близкой к скорости света 3 • 108 м/с. Частицы движутся по круговой орбите радиусом в сотни метров. При этом центростремительное ускорение достигает огромных значений: 1014—1015 м/с2. Это в 1013—1014 раз превышает ускорение свободного падения.

Равномерно движущаяся по окружности точка имеет постоянное по модулю ускорение а = , направленное по радиусу к центру окружности (перпендикулярно скорости). Поэтому это ускорение называется центростремительным или нормальным. Ускорение а при движении непрерывно изменяется по направлению (си. рис. 1.82, б). Значит, равномерное движение точки по окружности является движением с переменным ускорением.

1 От латинского слова normalis — прямой. Нормаль к кривой линии в данной точке — прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной, проведенной через ту же точку.

Что общего между ними

Пришло время сравнить центробежную и центростремительную силы. У них есть отличия и сходства. Вот общие черты:

Равны по значению

Земля кружится вокруг Солнца по эллиптической орбите. Когда планета пролетает на расстоянии 147 миллионов километров, её скорость равна 30,2 км/с. Этот участок называется перигелий. Здесь Fцб больше всего, потому что скорость выше средней, а промежуток между планетой с центром вращения короткий.

На расстоянии в 152 миллиона километров до Солнца скорость падает до 29,2 км/с. Эта зона называется афелием. Здесь Fцб самая низкая, потому что дистанция до звезды больше, а скорость ниже средней.

Между перигелием и афелием планета летит со средней скоростью 29,8 км/с.

Возникают одновременно

Они появляются, когда предмет движется криволинейно. Вот примеры для наглядности:

В лопасти конструкции с электромотором повесили два груза. Мотор закрутил их, появилась инерция. Они начали кружиться на лопастях, но не улетели. Их удержала Fцс.

Автомобиль разогнался до 120 км/ч и пошёл в вираж. Машину занесло, она поменяла направление движения за счёт Fцб. Но автомобиль не вылетел с дороги и остался на полосе. Так получилось, потому что Fцс удержала машину.

Во всех примерах они стали действовать одновременно.

Вращаемся вдоль вертикальной плоскости

Наверняка вам приходилось наблюдать, как отважные мотоциклисты, велосипедисты или скейтбордисты вращаются внутри круглого трека, расположенного в вертикальной плоскости. Почему сила тяжести не опрокидывает их в самой верхней точке, где они находятся вверх ногами? Как быстро им нужно двигаться, чтобы сила гравитации не превышала центростремительной силы?

Рассмотрим эту ситуацию подробнее с помощью схемы на рис. 7.4. Для простоты предположим, что вместо отважных спортсменов маленький мячик совершает движение по окружности, расположенной в вертикальной плоскости. Итак, предыдущий вопрос формулируется следующим образом: “Какой минимальной скоростью должен обладать мячик, чтобы совершить полный цикл движения по вертикально расположенной окружности?”. Какому основному условию должно отвечать движение мячика, чтобы он совершил полный цикл движения по такой окружности и не упал в самой верхней точке?

Для прохождения самой верхней точки без падения мячик должен обладать минимальной скоростью, достаточной для создания такой центростремительной силы, которая была бы не меньше силы гравитации.

При таких условиях нормальная сила со стороны трека будет равна нулю, а единственной силой, которая будет удерживать объект на окружности, является сила гравитации. Поскольку центростремительная сила равна:

а сила гравитации равна:

то, приравнивая их, получим:

Отсюда получим выражение для минимально необходимой скорости для безопасного движения по окружности, расположенной в вертикальной плоскости:

Любой объект, движущийся с меньшей скоростью, в самой верхней точке трека неизбежно отклонится от траектории движения по окружности и упадет. Давайте вычислим величину минимально необходимой скорости для безопасного движения по окружности с радиусом 20 м. Подставляя численные значения в предыдущую формулу, получим:

Итак, для безопасного движения по окружности с радиусом 20 м объект (мячик, мотоцикл или гоночный автомобиль) должен иметь скорость не менее 14 м/с, т.е. около 50 км/ч.

Возникает вопрос: какую минимальную скорость в нижней точке должен иметь объект для безопасного движения по такой окружности? Подробный ответ на этот вопрос будет дан в части III этой книги, в которой рассматриваются такие понятия, как “кинетическая энергия”, “потенциальная энергия” и “преобразование энергии из одной формы в другую”.

Чем они различаются

Они возникают, когда тело движется криволинейно. Их значения равны. Но они — не одно и то же. Пора разобраться, в чём разница.

Разные по направлению

Первое отличие — направление. То, что они друг другу равны и одновременно появляются не означает, что их векторы смотрят в одну сторону.

Земля вращается вокруг Солнца по своей орбите. Она пытается оторваться от звезды, чтобы улететь в Галактику. Но её что-то удерживает.

Fцб направлена от центра вращения. Она тянет планету как можно дальше от звезды. Но почему в перигелии она самая большая? Потому что, чем ближе планета к центру, тем больше на неё действуют. Если подставить в формулу F= mv2/r скорость и радиус перигелия, а потом афелия, то получится что Fцб больше на коротком участке.

Fцс — это противоположность центробежной. Она направлена к центру и не даёт телу сойти с траектории.

Для Fцб и Fцс работает Третий закон Ньютона: F1=-F2. Тела действуют друг на друга одинаково по модулю, но противоположно по направлению. Поэтому, Земля до сих пор крутится вокруг Солнца.

Источники возникновения

Кроме противоположных векторов направления у них есть ещё одно различие — причину появления.

Инерция появляется, когда предмет перемещается криволинейно. То есть, автомобиль пытается двигаться прямолинейно, когда входит в поворот на скорости 120 км/ч.

Fцс появляется из-за разных источников: тяга двигателя не даёт слететь машине с дороги; мощь спортсмена и натяжения проволоки держат молот; Солнце притягивает Землю. Все эти примеры — разные физические явления, но называют их одинаково.

Измерение ускорения свободного падения

Это ускорение (его будем обозначать буквой g) возникает за счет действия на все тела, которые нас окружают, силы тяжести Земли. Среднее значение g на нашей планете равно 9,81 м/с², тем не менее эта величина колеблется на несколько процентов в зависимости от местности.

Наука, которая занимается измерением величины g, называется гравиметрией. Отвечая на вопрос, каким прибором измеряется ускорение, следует сказать, что это или абсолютный, или относительный гравиметр. Абсолютный гравиметр измеряет g в лоб, рассчитывая время падения тела в безвоздушном пространстве с некоторой высоты. Относительный гравиметр представляет собой пружину с грузом, удлинение которой калибруется согласно некоторому известному ускорению g в данной местности.

С помощью гравиметра ускорение свободного падения измеряется в галах. Эта единица названа в честь Галилея, который впервые в истории использовал математический маятник для вычисления ускорения g. Один гал равен сотой части м/с².

Измерение g в данной местности проводят с целью анализа состава горных пород, во время поиска полезных ископаемых или подземных вод. Применяют гравиметры также в археологии и сейсмологии.

Мотивация и вывод

То, что разложение вектора ускорения на компоненты — одну вдоль касательного к траектории вектора (тангенциальное ускорение) и другую ортогональную ему (нормальное ускорение) — может быть удобным и полезным, довольно очевидно само по себе

При движении с постоянной по модулю скоростью тангенциальная составляющая становится равной нулю, то есть в этом важном частном случае остается только нормальная составляющая. Кроме того, как можно увидеть ниже, каждая из этих составляющих имеет ярко выраженные собственные свойства и структуру, и нормальное ускорение содержит в структуре своей формулы достаточно важное и нетривиальное геометрическое наполнение

Не говоря уже о важном частном случае движения по окружности.

Формальный вывод

Разложение ускорения на тангенциальную и нормальную компоненты (вторая из которых и есть центростремительное или нормальное ускорение) можно найти, продифференцировав по времени вектор скорости, представленный в виде
v=veτ{\displaystyle \mathbf {v} =v\,\mathbf {e} _{\tau }} через единичный вектор касательной eτ{\displaystyle \mathbf {e} _{\tau }}:

a=dvdt=d(veτ)dt=dvdteτ+vdeτdt=dvdteτ+vdeτdldldt=dvdteτ+v2Ren ,{\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d(v\mathbf {e} _{\tau })}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+v{\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+v{\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dl}}{\frac {dl}{dt}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {e} _{\tau }+{\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {e} _{n}\ ,}

где первое слагаемое — тангенциальное ускорение, а второе — нормальное ускорение.

Здесь использовано обозначение en {\displaystyle e_{n}\ } для единичного вектора нормали к траектории
и l {\displaystyle l\ } — для текущей длины траектории (l=l(t) {\displaystyle l=l(t)\ });
в последнем переходе также использовано очевидное

dldt=v {\displaystyle dl/dt=v\ }

и, из геометрических соображений,

deτdl=enR.{\displaystyle {\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dl}}={\frac {\mathbf {e} _{n}}{R}}.}

Далее можно просто формально назвать член

v2Ren {\displaystyle {\frac {v^{2}}{R}}\mathbf {e} _{n}\ }

— нормальным (центростремительным) ускорением.
При этом его смысл, смысл входящих в него объектов, а также доказательство того факта,
что он действительно ортогонален касательному вектору (то есть что en {\displaystyle \mathbf {e} _{n}\ } — действительно вектор нормали)
— будет следовать из геометрических соображений (впрочем, то, что производная любого вектора постоянной длины по времени перпендикулярна самому этому вектору, — достаточно простой факт); в данном случае мы применяем это утверждение для
deτdt{\displaystyle {\frac {d\mathbf {e} _{\tau }}{dt}}}

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Андрей Измаилов
Наш эксперт
Написано статей
116
Добавить комментарий