Момент инерции маятника: определение, особенности и формула

Литература[править | править код]

  • Матвеев. А. Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.)
  • Трофимова Т. И. Курс физики. — 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2001. — 542 с.
  • Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. Издательство Физического факультета МГУ, 1997.
  • Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
  • Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3
  • Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — 560 с.
  • Беляев Н. М. Сопротивление материалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. — 608 с.

Применяем второй закон Ньютона для вращательного движения

Согласно второму закону Ньютона (см. главу 5), ускорение объекта под действием силы пропорционально величине силы и обратно пропорционально массе объекта:

где ​\( \mathbf{a} \)​ — это вектор ускорения, \( \mathbf{F} \) — вектор силы, а ​\( m \)​ — масса объекта. Подробнее о векторах рассказывается в главе 4. Соблюдается ли этот закон для вращательного движения?

В главе 10 мы уже познакомились характеристиками вращательного движения, которые являются эквивалентами (аналогами) некоторых характеристик поступательного движения. А как будет выглядеть аналог у второго закона Ньютона? Похоже, что во вращательном движении роль ускорения \( \mathbf{a} \) играет угловое ускорение \( \alpha \), а роль силы \( \mathbf{F} \) — момент силы \( \mathbf{M} \)? Не вдаваясь в подробности, скажем лишь, что это действительно так. А что же с массой? Оказывается, что для этого используется новое понятие — момент инерции ​\( l \)​. Известно, что второй закон Ньютона для вращательного движения принимает следующий вид:

Рассмотрим простой пример. Пусть привязанный нитью мячик для игры в гольф вращается по окружности, как показано на рис. 11.1. Допустим, что к мячику приложена направленная по касательной к окружности тангенциальная сила, которая приводит к увеличению тангенциальной скорости мячика

(Обратите внимание, что речь идет не о нормальной силе, направленной вдоль радиуса окружности вращения. Более подробно нормальная и тангенциальная скорости, а также нормальное и тангенциальное ускорения рассматриваются в главе 10.)

Поскольку:

то, умножая обе части этой формулы на радиус окружности ​\( r \)​, получим:

Поскольку ​\( r\mathbf{F}=\mathbf{M} \)​ то

или

Таким образом, частично совершен переход от второго закона Ньютона для поступательного движения к его аналогу для вращательного движения. (Следует отметить, что это выражение справедливо для материальной точки, т.е. объекта, размерами которого можно пренебречь по сравнению с величиной радиуса окружности ​\( r \)​. Для протяженного объекта следует использовать другие формулы, которые описываются далее в этой главе. — Примеч. ред.)

Преобразуем тангенциальное ускорение в угловое

Чтобы полностью перейти от описания поступательного движения к описанию вращательного движения, необходимо использовать связь между угловым ускорением ​\( \alpha \)​ и тангенциальным ускорением ​\( \mathbf{a} \)​. Как нам уже известно из главы 10, они связаны следующим соотношением:

Подставляя это выражение в приведенную выше формулу

получим:

Итак, мы получили связь момента силы, действующей на материальную точку, и ее углового ускорения. Коэффициент пропорциональности между ними, ​\( l=mr^2 \)​, называется моментом инерции материальной точки. Таким образом, мы получили эквивалент второго закона Ньютона для вращательного движения, где роль силы играет момент силы, роль ускорения — угловое ускорение, а роль массы — момент инерции.

Пример: вычисляем момент силы для обеспечения углового ускорения

Если на объект действует несколько сил, то второй закон Ньютона имеет следующий вид:

где ​\( \mathbf{\sum\!F} \)​ обозначает векторную сумму всех сил, действующих на объект.

Аналогично, если на объект действует несколько моментов сил, то второй закон Ньютона имеет вид:

где \( \mathbf{\sum\! M} \) обозначает векторную сумму всех моментов сил, действующих на объект. Аналог массы, т.е. момент инерции, измеряется в кг·м2.

Пусть мячик из предыдущего примера (см. рис. 11.1) имеет массу 45 г, а длина нити равна 1 м. Какой момент сил необходимо приложить, чтобы обеспечить угловое ускорение — ​\( 2\pi с^{-2} \)​? Подставляя значения в уже известную нам формулу

получим:

Как видите, для решения этой задачи достаточно было поступить, как при определении силы, необходимой для обеспечения ускорения поступательного движения (где нужно было бы умножить массу на ускорение), т.е. умножить угловое ускорение на момент инерции.

Составной маятник

Составной маятник — тело, сформированное из собрания частиц или непрерывных форм, который вращается твердо вокруг центра. Его моменты инерции — сумма моменты инерции каждой из частиц, которая составлена из.

Естественная частота составного маятника зависит от его момента инерции,

где масса объекта, местное ускорение силы тяжести и расстояние от точки опоры до центра массы объекта. Измерение этой частоты колебания по маленьким угловым смещениям обеспечивает эффективный способ измерить момент инерции тела.

Таким образом, чтобы определить момент инерции тела, просто приостановите его от удобной точки опоры так, чтобы это качалось свободно в перпендикуляре самолета к направлению желаемого момента инерции, затем измерьте ее естественную частоту или период колебания , чтобы получить

где период (продолжительность) колебания (обычно усредняемый за многократные периоды).

Момент инерции тела о его центре массы, тогда вычислен, используя параллельную теорему оси, чтобы быть

где масса тела и расстояние от точки опоры до центра массы.

Момент инерции тела часто определяется с точки зрения его радиуса циркуляции, которая является радиусом кольца равной массы вокруг центра массы тела, у которого есть тот же самый момент инерции. Радиус циркуляции вычислен с момента тела инерции и массы как длина,

Центр колебания

Простой маятник, у которого есть та же самая естественная частота как составной маятник, определяет длину от центра до пункта, названного центром колебания составного маятника. Этот пункт также соответствует центру удара. Длина определена от формулы,

или

Маятник секунд, который предоставляет «тиканью» и «tock» высоких часов с маятником, занимает одну секунду, чтобы качаться поперек. Это — период двух секунд или естественная частота π радианов/секунда для маятника. В этом случае расстояние до центра колебания, может быть вычислено, чтобы быть

Заметьте, что расстояние до центра колебания маятника секунд должно быть приспособлено, чтобы приспособить различные ценности для местного ускорения силы тяжести. Маятник Кейтера, составной маятник, который использует эту собственность измерить местное ускорение силы тяжести и назван gravimeter.

Момент инерции в плоском движении твердого тела

Если механическая система вынуждена переместиться параллельный фиксированному самолету, то вращение тела в системе происходит вокруг перпендикуляра оси с этим самолетом. В этом случае момент инерции массы в этой системе — скаляр, известный как полярный момент инерции. Определение полярного момента инерции может быть получено, рассмотрев импульс, кинетическую энергию и законы Ньютона для плоского движения твердой системы частиц.

Если система частиц, собрана в твердое тело, то импульс системы может быть написан с точки зрения положений относительно ориентира R и абсолютных скоростей

где ω — угловая скорость системы и является скоростью.

Для плоского движения угловой скоростной вектор направлен вдоль вектора единицы, который перпендикулярен самолету движения. Введите векторы единицы от ориентира до пункта и вектор единицы так

Это определяет относительный вектор положения и скоростной вектор для твердой системы частиц, перемещающихся в самолет.

Примечание по взаимному продукту: Когда тело перемещается параллельный измельченному самолету, траектории всех пунктов в теле лежат в самолетах, параллельных этому измельченному самолету. Это означает, что любое вращение, которому подвергается тело, должно быть вокруг перпендикуляра оси к этому самолету. Плоское движение часто представляется, как спроектировано на этот измельченный самолет так, чтобы ось вращения появилась как пункт. В этом случае угловая скорость и угловое ускорение тела — скаляры и факт, что они — векторы вдоль оси вращения, проигнорирован. Это обычно предпочитается для введений в тему. Но в случае момента инерции, комбинация массы и геометрии извлекает выгоду из геометрических свойств взаимного продукта. Поэтому в этой секции в плоском движении угловая скорость и ускорение тела — векторный перпендикуляр к измельченному самолету, и взаимные операции по продукту совпадают с используемый для исследования пространственного движения твердого тела.

Угловой момент в плоском движении

Вектор углового момента для плоского движения твердой системы частиц дан

& = \sum_ {i=1} ^n \left (m_i\Delta r_i\mathbf {e} _i \times (\omega \Delta r_i\mathbf {t} _i + \mathbf {V}) \right) \\

& = \left (\sum_ {i=1} ^n m_i \Delta r_i^2\right) \omega \vec {k} + \left (\sum_ {i=1} ^n \left (m_i\Delta r_i\mathbf {e} _i\right) \right) \times\mathbf {V}. \\

Используйте центр массы C как ориентир так

и определите момент инерции относительно центра массы I как

тогда уравнение для углового момента упрощает до

Момент инерции о перпендикуляре оси к движению твердой системы и через центр массы известен как полярный момент инерции.

Для данной суммы углового момента уменьшение в момент инерции приводит к увеличению угловой скорости. Фигуристы могут изменить свой момент инерции, таща в их руках. Таким образом угловая скорость, достигнутая конькобежцем протянутыми руками, приводит к большей угловой скорости, когда руки втянуты из-за уменьшенного момента инерции.

Кинетическая энергия в плоском движении

Кинетическая энергия твердой системы частиц, перемещающихся в самолет, дана

Это уравнение расширяется, чтобы привести к трем условиям

Позвольте ориентиру быть центром массы C системы, таким образом, второй срок становится нолем, и введите момент инерции I, таким образом, кинетическая энергия дана

Момент инерции я — полярный момент инерции тела.

Законы Ньютона для плоского движения

Законы Ньютона для твердой системы частиц N, могут быть написаны с точки зрения проистекающей силы и вращающего момента в ориентире, чтобы привести

где обозначает траекторию каждой частицы.

Синематика твердого тела приводит к формуле для ускорения частицы с точки зрения положения и ускорения справочной частицы, а также углового скоростного вектора и углового вектора ускорения твердой системы частиц как,

Для систем, которые ограничены к плоскому движению, угловая скорость и угловые векторы ускорения направлены вдоль перпендикуляра к самолету движения, которое упрощает это уравнение ускорения. В этом случае векторы ускорения могут быть упрощены, введя векторы единицы от ориентира до пункта и векторы единицы, таким образом

Это приводит к проистекающему вращающему моменту на системе как

где, и векторный перпендикуляр единицы к самолету для всех частиц.

Используйте центр массы как ориентир и определите момент инерции относительно центра массы, тогда уравнение для проистекающего вращающего момента упрощает до

Параметр — полярный момент инерции движущегося тела.

Геометрические характеристики плоских сечений

При некоторых видах деформаций прочность и жесткость (способность противостоять деформации) элементов конструкций зависит не только от величины поперечного сечения, но и от формы этого сечения.
Самый простой пример — обыкновенную школьную линейку можно легко изогнуть относительно широкой стороны поперечного сечения и совершенно невозможно изогнуть относительно его короткой стороны. При этом общая площадь сечения в обоих случаях одинакова. На основании этого примера становится очевидным, что на сопротивление некоторым видам деформации оказывает влияние (иногда — решающее) не только величина площади сечения бруса, но и его геометрическая форма.
При изучении деформаций изгиба и кручения нам потребуется знание некоторых геометрических характеристик плоских сечений, которые оказывают влияние на способность конструкций сопротивляться деформациям относительно той или иной оси либо полюса (точки).

Чтобы понять суть явления и влияния этих геометрических характеристик на сопротивление бруса, например, изгибу, следует обратиться к основополагающим постулатам сопромата. Как известно из установленного в 1660 году английским физиком Робертом Гуком закона, напряжение в сечениях бруса прямо пропорционально его относительному удлинению. Очевидно, что волокна, расположенные дальше от оси изгиба, растягиваются (или сжимаются) сильнее, чем расположенные вблизи оси. Следовательно, и напряжения возникающие в них будут бόльшими.
Можно привести условную сравнительную аналогию между напряжением в разных точках сечения бруса с моментом силы — чем больше плечо силы — тем больше ее момент (относительно оси или точки). Аналогично — чем дальше от какого-либо полюса (оси) отстоит точка в сечении, тем большее напряжение в ней возникает при попытке изогнуть или скрутить брус относительно этого полюса (оси).

***

Статический момент площади

Статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок (Si) на расстояния (ri)от них до этой оси.

Если упростить это определение, то статический момент инерции плоской фигуры относительно какой-либо оси (лежащей в той же плоскости, что и фигура) можно получить следующим образом:

  • разбить фигуру на крохотные (элементарные) площадки (рис. 1);
  • умножить площадь каждой площадки на расстояние ri от ее центра до рассматриваемой оси;
  • сложить полученные результаты.

Статический момент площади плоской фигуры обозначают S с индексом оси, относительно которой он рассматривается: Sx, Sy, Sz.

Sx = Σ y dA;        Sy = Σ x dA.

Анализ этих формул позволяет сделать вывод, что статический момент площади фигуры относительно оси, лежащей в этой же плоскости, равен произведению площади фигуры на расстояние от ее центра тяжести до этой оси.
Из этого вывода следует еще один вывод — если рассматриваемая ось проходит через центр тяжести плоской фигуры, то статический момент этой фигуры относительно данной оси равен нулю.

Единица измерения статического момента площади — метр кубический (м3).
При определении статического момента площади сложной фигуры можно применять метод разбиения, т. е. определять статический момент всей фигуры, как алгебраическую сумму статических моментов отдельных ее частей. При этом сложная геометрическая фигура разбивается на простые по форме составные части — прямоугольники, треугольники, окружности, дуги и т. п., затем для каждой из этих простых фигур подсчитывается статический момент площади, и определяется алгебраическая сумма этих моментов.

***

Полярный момент инерции

Полярным моментом инерции плоской фигуры относительно полюса (точки), лежащего в той же плоскости, называется сумма произведений элементарных площадок (Si) этой фигуры на квадрат их расстояний (r2i) до полюса.
Полярный момент инерции обозначают Iρ (иногда его обозначают Jρ), а формула для его определения записывается так:

Iρ = Σ ρ2 dA.

Единица измерений полярного момента инерции — м4, из чего следует, что он не может быть отрицательным.
Понятие полярного момента инерции понадобится при изучении деформаций кручения круглых валов, поэтому приведем формулы для определения полярного момента квадратного, круглого и кольцевого сечения.

Осевой момент инерции[править | править код]

Осевые моменты инерции некоторых тел

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

где:

  • mi — масса i-й точки,
  • ri — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

где:

dm = ρ dV — масса малого элемента объёма тела dV, ρ — плотность,r — расстояние от элемента dV до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Теорема Гюйгенса — Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Гюйгенса — Штейнера, момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

где m — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобьём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJi. Тогда

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R1, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

Поскольку объём и масса кольца равны

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Вывод формулы

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

Сплошной конус

Вывод формулы

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят

Интегрируя, получим

Сплошной однородный шар

Вывод формулы

Разобьём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

Масса и момент инерции такого диска составят

Момент инерции шара найдём интегрированием:

Тонкостенная сфера

Вывод формулы

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Вывод формулы

Разобьём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Интегрируя, получим

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Вывод формулы

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l⁄2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников

Безразмерные моменты инерции планет и спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr2). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение доплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС, пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра.

Геометрические моменты инерции

Геометрический момент инерции объёма относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой:

JVa=∫(V)r2dV,{\displaystyle J_{Va}=\int \limits _{(V)}r^{2}dV,}

где, как и ранее r — расстояние от элемента dV до оси a.

Размерность JVa — длина в пятой степени (dimJVa=L5{\displaystyle \mathrm {dim} J_{Va}=\mathrm {L^{5}} }), соответственно единица измерения СИ — м5.

Геометрический момент инерции площади относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой:

JSa=∫(S)r2dS,{\displaystyle J_{Sa}=\int \limits _{(S)}r^{2}dS,}

где интегрирование выполняется по поверхности S, а dS — элемент этой поверхности.

Размерность JSa — длина в четвёртой степени (dimJSa=L4{\displaystyle \mathrm {dim} J_{Sa}=\mathrm {L^{4}} }), соответственно единица измерения СИ — м4. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката часто указывается в см4.

Через геометрический момент инерции площади выражается момент сопротивления сечения:

W=JSarmax.{\displaystyle W={\frac {J_{Sa}}{r_{max}}}.}

Здесь rmax — максимальное расстояние от поверхности до оси.

Геометрические моменты инерции площади некоторых фигур
Прямоугольника высотой h{\displaystyle h} и шириной b{\displaystyle b}:Jy=bh312{\displaystyle J_{y}={\frac {bh^{3}}{12}}}

Jz=hb312{\displaystyle J_{z}={\frac {hb^{3}}{12}}}

Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам H{\displaystyle H} и B{\displaystyle B}, а по внутренним h{\displaystyle h} и b{\displaystyle b} соответственноJz=BH312−bh312=112(BH3−bh3){\displaystyle J_{z}={\frac {BH^{3}}{12}}-{\frac {bh^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}(BH^{3}-bh^{3})}

Jy=HB312−hb312=112(HB3−hb3){\displaystyle J_{y}={\frac {HB^{3}}{12}}-{\frac {hb^{3}}{12}}={\frac {1}{12}}(HB^{3}-hb^{3})}

Круга диаметром d{\displaystyle d}Jy=Jz=πd464{\displaystyle J_{y}=J_{z}={\frac {\pi d^{4}}{64}}}

Вычисляем момент инерции протяженного объекта

Момент инерции легко вычисляется для очень маленького (точечного) объекта, если все точки объекта расположены на одинаковом расстоянии от точки вращения. Например в предыдущем примере, если считать, что мячик для игры в гольф гораздо меньше длины нити, то все его точки находятся на одинаковом расстоянии от точки вращения, равном радиусу окружности вращения ​\( r \)​. В таком случае момент инерции имеет знакомый вид:

где \( r \) — это расстояние, на котором сосредоточена вся масса мячика \( m \).

Однако такая идеальная ситуация имеет место далеко не всегда. А чему равен момент инерции протяженного объекта, например стержня, вращающегося относительно одного из своих концов? Ведь его масса сосредоточена не в одной точке, а распределена по всей длине. Вообще говоря, для определения момента инерции протяженного объекта нужно просуммировать моменты инерции всех материальных точек объекта:

Например, момент инерции ​\( l \)​ системы из двух “точечных” мячиков для игры в гольф с одинаковой массой ​\( m \)​ на расстояниях ​\( r_1 \)​ и ​\( r_2 \)​ равен сумме их отдельных моментов инерции ​\( l_1=mr_1^2 \)​ и \( l_2=mr_2^2 \):

А как определить момент инерции диска, вращающегося относительно своего центра? Нужно мысленно разбить диск на множество материальных точек, вычислить момент инерции каждой такой точки и просуммировать полученные моменты инерции. Физики научились вычислять моменты инерции для многих объектов со стандартной формой. Некоторые из них приведены в табл. 11.1.

Попробуем вычислить моменты инерции нескольких предметов с простой геометрией.

Пример: замедление вращения компакт-диска

Компакт-диски могут вращаться с разными угловыми скоростями. Это необходимо для обеспечения одинаковой линейной скорости считывания информации на участках, находящихся на разных расстояниях от центра вращения. Пусть диск массой 30 г и диаметром 12 см сначала вращается со скоростью 700 оборотов в секунду, а спустя 50 минут — со скоростью 200 оборотов в секунду. Какой средний момент сил действует на компакт-диск при таком уменьшении скорости? Связь момента сил и углового ускорения имеет вид:

Момент инерции диска с радиусом ​\( r \)​, вращающегося относительно своего центра в плоскости диска, выражается формулой:

Подставляя значения, получим:

Теперь нужно определить угловое ускорение, которое определяется следующей формулой:

Изменение угловой скорости ​\( \Delta\omega \)​ произошло за промежуток времени:

В данном примере изменение угловой скорости:

где ​\( \omega_1 \)​ — конечная, а \( \omega_0 \) — начальная угловая скорость компакт-диска.

Чему они равны? Начальная скорость 700 оборотов в секунду означает, что диск за секунду 700 раз проходит ​\( 2\pi \)​ радиан:

Аналогично, конечная скорость 200 оборотов в секунду означает, что диск за секунду 200 раз проходит \( 2\pi \) радиан:

Подставляя значения в формулу углового ускорения, получим:

Подставляя значения момента инерции и углового ускорения в итоговую формулу момента силы, получим:

Итак, средний момент равен 10-4 Н·м, а чему будет равна сила для создания такого момента, если она приложена к краю диска? Ее величину легко вычислить по следующей формуле:

Оказывается, для такого замедления компакт-диска нужно приложить не такую уж и большую силу.

Еще один пример: поднимаем груз

Вращательное движение порой внешне выглядит не так очевидно, как вращение ком- пакт-диска. Например подъем груза с помощью блока также является примером вращательного движения. Хотя канат и груз движутся поступательно, но сам блок вращается (рис. 11.2). Пусть радиус блока равен 10 см, его масса равна 1 кг, масса груза равна 16 кг, а к веревке прилагается сила 200 Н. Попробуем вычислить угловое ускорение блока.

В данном примере нужно вычислить сумму всех моментов сил ​\( \mathbf{\sum\! M} \)​, которые действуют на веревку:

В данном примере на веревку действует два момента сил: один ​\( M_1 \)​ со стороны груза весом ​\( mg \)​, а другой \( M_2 \) — со стороны горизонтальной силы ​\( F \)​:

Отсюда получаем формулу для углового ускорения:

Эти моменты ​\( M_1 \)​ и \( M_2 \) имеют одинаковое плечо, равное радиусу блока ​\( r \)​, поэтому:

Поскольку блок имеет форму диска, то из табл. 11.1 находим его момент инерции:

Подставляя выражения для ​\( l \)​, ​\( M_1 \)​ и ​\( M_2 \)​ в формулу для углового ускорения, получим:

Подставляя значения, получим:

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Андрей Измаилов
Наш эксперт
Написано статей
116
Добавить комментарий