Постоянная планка

1. 4. 1. . Гипотеза квантов.

Планк дал
теоретический вывод своей формулы на
заседании Немецкого физического
общества. Это случилось 14 декабря 1900 г.
и стало днем рождения квантовой физики.

При выводе формулы
Планк
выдвинул
гипотезу,
в корне противоречащую всему построению
классической физики: излучение
(позже, и поглощение) происходит
не непрерывно, а конечными порциями —
квантами света или квантами энергии.

Осцилляторы (атомы,
молекулы) могут находиться только в
некоторых избранных стационарных
состояниях, в которых их энергия является
целым кратным некоторого наименьшего
количества энергии
Т.е. энергия микроскопических систем
может принимать только дискретные,
строго определенные значения.

Переход из одного
стационарного состояния в другое может
происходить скачком в результате
излучения (поглощения) осциллятором
такого же кратного количества энергии:

,

где

отдельная порция излучения, пропорциональная
частоте излучения, а
количество таких порций, испускаемых
осциллятором на частоте.
Динамическое равновесие осуществляется
посредством постоянного обмена квантами
между полем излучения и телом-осциллятором.
При данной температуре Т все энергетические
уровни возбуждены с разными вероятностями.
Поэтому требуется вычислить среднюю
энергию осцилляторав этом состоянии статистического
равновесия.

Постоянная Планка
имеет размерность «энергия
время». Поэтому её иногда называютквантом
действия
по аналогии с величиной в классической
механике.

Из доклада М.Планка
на заседании 14 декабря 1900 г.

«Квант
действия… либо фиктивная величина, и
тогда вывод закона излучения был в
принципе ложным и представлял собой
всего лишь пустую игру в формулы, лишенную
смысла, либо же вывод закона излучения
опирается на некую физическую реальность,
и тогда квант действия должен приобрести
фундаментальное значение в физике и
означает нечто совершенно новое и
неслыханное, что должно произвести
переворот в физике
…».

Вывод закона
излучения по методу Планка во многом
основан на законах классической физики
и лишь частично использует квантовые
представления. Поглощение и испускание
света осциллятором рассчитывалось с
помощью классической электродинамики,
в то время как при нахождении средней
энергии осциллятора использовалась
квантовая гипотеза о его дискретных
энергетических уровнях.

Термодинамика равновесного теплового излучения

Основная статья: Термодинамика фотонного газа

В термодинамике равновесное тепловое излучение рассматривают как фотонный газ, состоящий из электронейтральных безмассовых частиц, заполняющий полость объёмом V в абсолютно чёрном теле (), с давлением P и температурой T, совпадающей с температурой стенок полости. Для фотонного газа справедливы следующие термодинамические соотношения:

P=a3T4,{\displaystyle P={\frac {a}{3}}T^{4},}()
U=aVT4,{\displaystyle U=aVT^{4},}( для внутренней энергии)
U=aV(3S4aV)43,{\displaystyle U=aV\left({\frac {3S}{4aV}}\right)^{\mathsf {\frac {4}{3}}},}( для внутренней энергии)
H=(3Pa)14S,{\displaystyle H=\left({\frac {3P}{a}}\right)^{\mathsf {\frac {1}{4}}}S,}(Каноническое уравнение состояния для энтальпии)
F=−13aVT4,{\displaystyle F=-{\frac {1}{3}}aVT^{4},}(Каноническое уравнение состояния для потенциала Гельмгольца)
G=,{\displaystyle G=0,}(Каноническое уравнение состояния для потенциала Гиббса)
Ω=−13αVT4,{\displaystyle \Omega =-{\frac {1}{3}}\alpha VT^{4},}(Каноническое уравнение состояния для потенциала Ландау)
μ=,{\displaystyle \mu =0,}(Химический потенциал)
S=4a3VT3,{\displaystyle S={\frac {4a}{3}}VT^{3},}(Энтропия)
CV=4aVT3,{\displaystyle C_{V}=4aVT^{3},}(Теплоёмкость при постоянном объёме)
CP=∞,{\displaystyle C_{P}=\infty ,}(Теплоёмкость при постоянном давлении)
γ=∞,{\displaystyle \gamma =\infty ,}(Показатель адиабаты)
S=const, VT3=const, PV43=const.{\displaystyle S=\mathrm {const} ,~VT^{3}=\mathrm {const} ,~PV^{4/3}=\mathrm {const} .}(Уравнения адиабаты)

Для большей компактности в формулах использована радиационная постоянная a вместо постоянной Стефана — Больцмана σ:

a=4σc,{\displaystyle a={\frac {4\sigma }{c}},}(Радиационная постоянная)

где c — скорость света в вакууме.

Фотонный газ представляет собой систему с одной .

Давление фотонного газа не зависит от объёма, поэтому для фотонного газа изотермический процесс (T = const) является одновременно и изобарным процессом (P = const). С повышением температуры давление фотонного газа растёт очень быстро, достигая 1 атмосферы уже при T = 1,4×105 К, а при температуре 107 К (температура центра Солнца) давление достигает значения 2,5×107 атм (2,5×1012Па). Величина теплоёмкости излучения становится сравнимой с величиной теплоёмкости одноатомного идеального газа лишь при температурах порядка миллионов градусов.

Представление о температуре излучения было введено Б. Б. Голицыным (1893).

Литература

  • Алмалиев А. Н., Копытин И. В., Корнев А. С., Чуракова Т. А. Термодинамика и статистическая физика: Статистика идеального газа. — Воронеж: Ворон. гос. ун-т, 2004. — 79 с.
  • Базаров И. П. Термодинамика. — 5-е изд. — СПб. — М. — Краснодар: Лань, 2010. — 384 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1003-3.
  • Гуггенгейм. Современная термодинамика, изложенная по методу У. Гиббса / Пер. под ред. проф. С. А. Щукарева. — Л. — М.: Госхимиздат, 1941. — 188 с.
  • Новиков И. И. Термодинамика. — М.: Машиностроение, 1984. — 592 с.
  • Сычёв В. В. Сложные термодинамические системы. — 5-е изд., перераб. и доп.. — М: Издательский дом МЭИ, 2009. — 296 с. — ISBN 978-5-383-00418-0.

41)Излучение солнца. Инфракрасное и ультрафиолетовое излучения и их применение в медицине.

Основным
источником теплового излучения в природе
является Солнце. Спектральный состав
солнечного излучения соответствует
излучению абсолютно черного тела при
температуре порядка 6000
К. Полная
плотность потока солнечного излучения
на верхней границе земной атмосферы
составляет 1,93 кал/см2∙мин
и называется солнечной
постоянной.

При
прохождении через атмосферу мощность
солнечного излучения уменьшается.

В
зависимости от состояния атмосферы и
высоты Солнца над горизонтом, уменьшается
также и солнечная постоянная. Изменяется
и спектральный состав излучения.

Так,
УФ-излучение поглощается озоном верхних
слоев атмосферы, а часть длинноволнового
ИК-излучения поглощается водяным паром

Из
искусственных источников света по
спектру ближе всего к Солнцу подходит
электрическая дуга, излучение которой
ранее использовалось для лечебных
целей. В настоящее время в медицине
применяются более удобные в эксплуатации
источники инфракрасного и ультрафиолетового
излучения, по возможности воспроизводящие
соответствующие участки солнечного
спектра.

Электромагнитное
излучение, занимающее спектральную
область (от красной границы видимого
света до коротковолнового радиоизлучения)
называется инфракрасным (ИК) излучением.

В
медицине применяется более коротковолновая
часть ИК-излучения.
ИК-излучение невидимо для глаза. Основное
его действие – тепловое,
но может вызывать и химические реакции,
например, действует на специальную
фотоэмульсию. При фотографировании в
ИК-лучах становятся видимы детали
предметов, не заметные при обычной
фотографии.

Первичное
действие ИК-излучения на организм
состоит в прогревании поверхностно
лежащих тканей; при этом излучение
проникает в ткани на глубину до 2 см.

В
лечебной практике в качестве источников
инфракрасного излучения используются
специальные облучатели

Лампа
Минина представляет
собой лампу накаливания с рефлектором,
локализующим излучение в необходимом
направлении. Источником излучения
служит лампа накаливания мощностью
20-60 Вт из бесцветного или синего стекла.

Светотепловая
ванна представляет
собой полуцилиндрический каркас,
состоящий из двух половин, соединенных
подвижно между собой. На внутренней
поверхности каркаса, обращенной к
пациенту, укреплены лампы накаливания
мощностью 40 Вт. В таких ваннах на
биологический объект действуют
инфракрасное и видимое излучения, а
также нагретый воздух, температура
которого может достигать 70°С.

Лампа
Соллюкс представляет
собой мощную лампу накаливания, помещенную
в специальный рефлектор на штативе.
Источником излучения служит лампа
накаливания мощностью 500 Вт (температура
вольфрамовой нити 2 800°С, максимум
излучения приходится на длину волны 2
мкм).

Электромагнитное
излучение, занимающие спектральную
область от 380 нм до 10 нм (от фиолетовой
границы видимого света до длинноволнового
рентгеновского излучения) называется
ультрафиолетовым
(УФ) излучением.

УФ-излучение
поглощается простым стеклом, а при длине
волны меньше 200
нм поглощается
тонким слоем любого вещества, включая
воздух. Поэтому
дальнее УФ-излучение для медицины
интереса не представляет.

УФ-излучение
оказывает сильное биологическое действие
на живые организмы, которое может быть
и полезным, и вредным.
Его первичное
действие связано с фотохимическими
реакциями, происходящими в тканях при
поглощении излучения. В ткани оно
проникает на глубину до 1 мм и проявляется
на месте воздействия эритемой.

В
соответствии с особенностями биологического
действия выделяют следующие зоны
УФ-излучения:

Зона
А (380-315 нм) –
антирахитная
– отличается укрепляющим и закаливающим
организм действием. Используется в
профилактических и гигиенических целях.

Зона
В (315-280 нм)
– эритемная
– характеризуется эритемным действием
и используется в лечебных целях.

Зона
С (280-200 нм) –
бактерицидная
– отличается бактерицидным действием;
используется в качестве средства
дезинфекции.

6)Эффект комптона и его теория

Эффект
Комптона (Комптон-эффект) — явление
изменения длины волны электромагнитного
излучения вследствие упругого рассеивания
его электронами. Обнаружен американским
физиком Артуром Комптоном в 1923 году для
рентгеновского излучения. В 1927 Комптон
получил за это открытие Нобелевскую
премию по физике.

При
рассеянии фотона на покоящемся электроне
частоты фотона V
и V’
(до и после рассеяния соответственно)
связаны соотношением:

где
θ— угол рассеяния (угол между направлениями
распространения фотона до и после
рассеяния). Перейдя к длинам волн:

где
— комптоновская длина волны электрона.

Для
электронам. Уменьшение энергии фотона после
комптоновского рассеяния называется
комптоновским сдвигом. В классической
электродинамике рассеяние электромагнитной
волны на заряде (томсоновское рассеяние)
не сопровождается уменьшением её
частоты.

Объяснить
эффект Комптона в рамках классической
электродинамики невозможно. С точки
зрения классической физики электромагнитная
волна является непрерывным объектом и
в результате рассеяния на свободных
электронах изменять свою длину волны
не должна. Эффект Комптона является
прямым доказательством квантования
электромагнитной волны, другими словами
подтверждает существование фотонов.
Эффект Комптона является ещё одним
доказательством справедливости
корпускулярно-волнового дуализма
микрочастиц.

Обратный
эффект Комптона

Эффектом,
обратным эффекту Комптона, является
увеличение частоты света, претерпевающего
рассеяние на релятивистских электронах,
имеющих энергию выше, чем энергия
фотонов. То есть в процессе такого
взаимодействия происходит передача
энергии от электрона фотону.

Энергия
рассеянных фотонов определяется
выражением

где
и— энергия рассеянного и падающего
фотонов соответственно, K — кинетическая
энергия электрона.

Обратный
эффект Комптона ответственен за
рентгеновское излучение галактических
источников, рентгеновскую составляющую
реликтового фонового излучения (эффект
Сюняева — Зельдовича), трансформацию
плазменных волн в высокочастотные
электромагнитные волны

Физический смысл

В волновой квантовой механике каждой частице ставится в соответствие волновая функция, при этом характеристики этой волны связаны с характеристиками частицы: волновой вектор k→{\displaystyle {\vec {k}}} — с импульсом p→{\displaystyle {\vec {p}}}, частота ω=2πν{\displaystyle \omega =2\pi \nu } — с энергией E{\displaystyle E}, фаза φ{\displaystyle \varphi } — c действием S{\displaystyle S}. Постоянная Планка является коэффициентом, связывающим эти величины между собой:

p→=ℏk→(|p→|=hλ),{\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}\,\,\,(\left|{\vec {p}}\right|=h/\lambda ),}
E=hν=ℏω,{\displaystyle E=h\nu =\hbar \omega ,}
S=ℏφ.{\displaystyle S=\hbar \varphi .}

В теоретической физике часто для упрощения внешнего вида формул используется система единиц, в которой ℏ=1{\displaystyle \hbar =1}, тогда эти соотношения принимают вид:

p→=k→(|p→|=2πλ),{\displaystyle {\vec {p}}={\vec {k}}\,\,\,(\left|{\vec {p}}\right|=2\pi /\lambda ),}
E=ω,{\displaystyle E=\omega ,}
S=φ,{\displaystyle S=\varphi ,}
(ℏ=1).{\displaystyle (\hbar =1).}

Величина постоянной Планка определяет и границы применимости классической и квантовой физики. В сравнении с величиной характерных для рассматриваемой системы величин действия или момента импульса, или произведений характерного импульса на характерный размер, или характерной энергии на характерное время, — постоянная Планка показывает, насколько применима к данной физической системе классическая механика. А именно, если S{\displaystyle S} — действие системы, а L{\displaystyle L}— её момент импульса, то при S≫ℏ{\displaystyle S\gg \hbar } или L≫ℏ{\displaystyle L\gg \hbar } поведение системы обычно может с хорошей точностью быть описано классической механикой.

Эти оценки следуют из соотношений неопределённости Гейзенберга. В квантовой физике измеряемым физическим величинам ставятся в соответствие операторы, алгебра которых отличается от алгебры действительных чисел главным образом тем, что операторы могут не коммутировать, то есть величина C^=A^B^−B^A^{\displaystyle {\hat {C}}={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}, называемая коммутатором, может быть не равна нулю. Обычно коммутатор операторов физических величин имеет величину порядка постоянной Планка. Если коммутатор двух операторов квантовой механики не равен нулю, то соответствующие им величины не могут быть измерены одновременно с произвольно большой точностью. Это приводит к возникновению волновых явлений при рассмотрении соответствующих физических систем. Таким образом, постоянная Планка определяет пределы применимости классической физики.

Термины

  • Постоянная Планка – квант действия в квантовой механике с единицей углового момента.
  • Черное тело – идеализированный физический объект, поглощающий все поступающие электромагнитные лучи.
  • Спектральное излучение – вычисление количества лучей, проходящих или созданных с поверхности и попавших в конкретный угол.

Давайте разберемся в чем состоит гипотеза Планка о квантах. При тепловом балансе черное тело выпускает электромагнитные лучи – излучение абсолютно черного тела. Отличается характерным непрерывающимся частотным спектром, основывающимся исключительно на температурном показателе тела. В 1901 году Макс План сумел точно охарактеризовать лучи, предположив, что столкнулся с квантами. Его квантовая гипотеза стала новаторской и первым шагом в появлении современной физики.

Объяснение характеристик излучения черного тела стало главным камнем преткновения для теоретической физики конца 19-го века. Основанные на классических теория прогнозы не могли объяснить спектры излучения черного тела, которые проявлялись в экспериментах. С проблемой разобрался Макс Планк в 1901 году, создав закон излучения черного тела. Он сказал, что электромагнитное излучение формируется в квантах. Формула квантовой гипотезы Планка записывалась как:

(B – спектральное излучение поверхности черного тела, T – его абсолютная температура, λ – длина волны излучения, kB – постоянная Больцмана, h – постоянная Планка, c – световая скорость). Эта формула объясняет спектры черного тела. Квантовая гипотеза Планка – один из главных прорывов в современной физике. Неудивительно, что он впервые ввел постоянную Планка h = 6.626 × 10-34 Дж⋅с.

Стандартный спектр черного тела при различных температурных показателях. По мере снижения температуры, пик кривой излучения смещается к более низким интенсивностям и длинным волнам. Черная линия – предсказание классической теории для объекта с 5000К. Здесь видно катастрофическое несоответствие при более коротких длинах волн

Теперь вы знаете, в чем заключается гипотеза Планка и как выглядит энергия и спектр излучения абсолютно черного тела. Отметьте, что спектральное излучение основывается на двух переменных: длина волны и температурный показатель. Излучение обладает определенным спектром и интенсивностью, основывающихся исключительно на температуре. Законы излучения черного тела Планка отлично характеризуют радиационные свойства объектов.

Обзор
Ранний атом
  • Обнаружение составляющих атома
  • Ранние модели атома
  • Модель Томпсона
  • Модель Резерфорда
  • Атомная модель Бора
  • Главные допущения в модели Бора
  • Орбиты Бора
  • Энергия орбиты Бора
  • Водородные спектры
  • Де Бройль и модель Бора
  • Рентгеновские лучи и эффект Комптона
  • Рентгеновские спектры: происхождение, дифракция кристаллами и значение
  • Эффект Комптона
Атомная физика и квантовая механика
  • Волновая природа материи приводит к квантованию
  • Фотонные взаимодействия и парное производство
Приложения атомной физики
  • Электронные микроскопы
  • Лазеры
Многоэлектронные атомы
  • Многоэлектронные атомы
  • Периодическая таблица
  • Электронные конфигурации

8.Излучение Солнца. Источники теплового излучения, применяемые для лечебных целей.

Излучение Солнца

Солнце – самаянеизученнаязвезда в нашей Солнечной системе.

Солнце– наиболее мощный источник
теплового излучения,обеспечивающий
жизнь на Земле.

Солнечная постоянная I— поток солнечной радиации, приходящейся
на 1 м2площадиграницы земной
атмосферы
.

Применение теплового излучения в
медицине

ИК–излучение– это электромагнитная
волна в диапазоне от 0,76 мкм до 1-2 мм.

Инфракрасное излучение является
низкоэнергетическим и для глаза человека
невидимо, поэтому для его изучениясозданы специальные приборы –тепловизоры
(термографы)
, позволяющие улавливать
это излучение, измерять его и превращать
его в видимую для глаза картину.

Тепловизоры относятся к оптико-электронным
приборам пассивного типа. В них невидимое
глазом человека излучение переходит в
электрический сигнал, который подвергается
усилению и автоматической обработке,
а затем преобразуется в видимое
изображение теплового поля объекта для
его визуальной и количественной оценки.

Диапазон инфракрасного излучения
делится на несколько фрагментов:

Длина волн (мкм)

Название

0.76-1.5

Ближнее инфракрасное
излучение

1.5-5.5

Коротковолновое
инфракрасное излучение

5.6-25

Длинноволновое
инфракрасное излучение

25-100

Дальнее инфракрасное
излучение

В современной медицине тепловизионное
обследование представляет мощный
диагностический метод, позволяющий
выявлять такие патологии, которые плохо
поддаются контролю другими способами.

Основные методы в тепловидении

Бесконтактные

  1. Термограф

  2. Тепловизор

Контактные

  • На
    небольшой
    участок поверхности тела помещается
    специальная
    жидкокристаллическая пленка
    .

  • Жидкие
    кристаллы обладают свойством оптической
    анизотропии и меняют
    цвет в зависимости от температуры
    .

В медицине

Выявление в организме областей с
аномальной температурой, в которых
что-то происходит не так.

Тепловизионное обследование служит
для диагностики на ранних стадиях
(до рентгенологических проявлений, а в
некоторых случаях задолго до появления
жалоб больного) следующих заболеваний:

  • воспаление
    и опухоли молочных желез,

  • органов
    гинекологической сферы, кожи, лимфоузлов,

  • ЛОР-заболевания,

  • поражения
    нервов и сосудов конечностей,

  • варикозное
    расширение вен;

  • воспалительные
    заболевания желудочно-кишечного тракта,
    печени, почек;

  • остеохондроз
    и опухоли позвоночника.

Как абсолютно безвредный прибор
тепловизор эффективно применяется в
акушерстве и педиатрии.

  • У
    здорового человека распределение
    температур симметрично относительно
    средней линии тела.

  • Нарушение
    этой симметрии и служит основным
    критерием тепловизионной диагностики
    заболеваний.

По участкам тела с аномально высокой
или низкой температурой можно распознать
симптомы более 150 болезней на самых
ранних стадиях их возникновения.

Термография— метод функциональной
диагностики, основанный на регистрации
инфракрасного излучения человеческого
тела, пропорционального его температуре.

Энергия фотона

Соотношение Планка – Эйнштейна связывает конкретную энергию фотона E с соответствующей волновой частотой f :

Eзнак равночасж{\ displaystyle E = hf}

Эта энергия чрезвычайно мала с точки зрения обычно воспринимаемых повседневных предметов.

Поскольку частота f , длина волны λ и скорость света c связаны соотношением , соотношение также можно выразить как
жзнак равноcλ{\ displaystyle f = {\ frac {c} {\ lambda}}}

Eзнак равночасcλ.{\ displaystyle E = {\ frac {hc} {\ lambda}}.}

Длина волны де Бройля λ частицы определяется выражением

λзнак равночасп{\ displaystyle \ lambda = {\ frac {h} {p}}}

где p обозначает линейный импульс частицы, такой как фотон, или любой другой элементарной частицы .

В приложениях, где естественно использовать угловую частоту (т. Е. Где частота выражается в радианах в секунду, а не в циклах в секунду или герцах ), часто бывает полезно добавить коэффициент 2 π в постоянную Планка. Результирующая постоянная называется . Он равен постоянной Планка, деленной на 2 π , и обозначается ħ (произносится как «h-bar»):

ℏзнак равночас2π.{\ displaystyle \ hbar = {\ frac {h} {2 \ pi}}.}

Энергия фотона с угловой частотой & omega = 2 πf задается

Eзнак равноℏω,{\ displaystyle E = \ hbar \ omega,}

в то время как его импульс относится к

пзнак равноℏk,{\ displaystyle p = \ hbar k,}

где k — угловое волновое число . В 1923 году Луи де Бройль обобщил соотношение Планка – Эйнштейна, постулировав, что постоянная Планка представляет собой пропорциональность между импульсом и длиной квантовой волны не только фотона, но и длины квантовой волны любой частицы. Вскоре это подтвердили эксперименты. Это справедливо для всей квантовой теории, включая электродинамику .

Эти два отношения являются временной и пространственной частями специального релятивистского выражения с использованием 4-векторов .

пμзнак равно(Ec,п→)знак равноℏKμзнак равноℏ(ωc,k→){\ displaystyle P ^ {\ mu} = \ left ({\ frac {E} {c}}, {\ vec {p}} \ right) = \ hbar K ^ {\ mu} = \ hbar \ left ({ \ frac {\ omega} {c}}, {\ vec {k}} \ right)}

Классическая статистическая механика требует наличия h (но не определяет его значение). В конце концов, после открытия Планка, было признано, что физическое действие не может принимать произвольное значение. Вместо этого это должно быть некоторое целое число, кратное очень малой величине, « кванту действия», который теперь называется приведенной постоянной Планка или естественной единицей действия . Это так называемая «старая квантовая теория», разработанная Бором и Зоммерфельдом , в которой траектории частиц существуют, но скрыты , но квантовые законы ограничивают их в зависимости от их действия. Эта точка зрения была в значительной степени заменена полностью современной квантовой теорией, в которой определенные траектории движения даже не существуют, скорее, частица представлена ​​волновой функцией, распределенной в пространстве и во времени. Таким образом, действие в классическом понимании не имеет ценности. С этим связана концепция квантования энергии, которая существовала в старой квантовой теории, а также существует в измененной форме в современной квантовой физике. Классическая физика не может объяснить ни квантование энергии, ни отсутствие классического движения частиц.

Во многих случаях, например, для монохроматического света или для атомов, квантование энергии также подразумевает, что разрешены только определенные уровни энергии, а значения между ними запрещены.

22 Основные законы теплового излучения: законы Кирхгофа,Стефана-Больцмана. Степень черноты.

Закон Кирхгофа.
Для всякого тела энергия излучения и
энергия поглощения зависят от температуры
и длины волны. Различ­ные тела имеют
различные значения Е
и А.
Зависимость между ними устанавливается
законом Кирхгофа. Рассмотрим теплообмен
излуче­нием между двумя параллельными
пластинами с неодинаковыми тем­пературами,
причем первая пластина является абсолютно
черной с тем­пературой Ts,
вторая – серой с температурой Т.
Расстояние между пластинами значительно
меньше их размеров, так что излучение
каж­дой из них обязательно попадает
на другую.

Вторая поверхность
излучает на первую по закону Стефана
–Больцмана энергию Е,
которая полностью поглощается черной
по­верхностью. В свою очередь первая
поверхность излучает на вторую энергию
Es.
Часть энергии ЕsА
поглощается серой поверхностью, а
остальная энергия (1
А) Еs,
отражается на первую и ею полно­стью
поглощается. При этих условиях серая
поверхность получает энергию в количестве
ЕsА,
а расходует Е.
Следовательно, уравнение теплового
баланса имеет вид

.

При равенстве
температур Т
и Тsт6епловой
поток Q
равен нулю. Отсюда получаем

или
.
(9.9)

Так как вместо
второго тела можно взять любое другое,
то уравне­ние (9.9) справедливо для
любых тел и является математическим
вы­ражением закона Кирхгофа.

Отношение
излучательной способности тела к его
поглощательной способности одинаково
для всех серых тел, находящихся при
одинако­вых температурах, и равно
излучательной способности абсолютно
черного тела при той же температуре.

Из закона Кирхгофа
следует, что если тело обладает малой
погло-щательной способностью, то оно
одновременно обладает и малой
излу­чательной
способностью

(полированные металлы). Абсолютно черное
тело, обладающее максимальной
поглощательной способностью, имеет и
наибольшую излучательную
способность.

Закон Кирхгофа
остается справедливым и для
монохроматического излучения.

Из закона Кирхгофа
также следует, что степень черноты
серого тела

при одной и той же температуре численно
равна коэффициенту по­глощения А

.

Закон Стефана
– Больцмана
.
Аналитическое выражение закона Стефана
– Больцмана можно получить, используя
закон Планка. Тепловой поток, излучае­мый
единицей поверхности черного тела в
интервале длин волн от от λ
до λ
+dλ,
может быть определен из уравнения

.

Элементарная
площадка на рис.9.1, ограниченная кривой
Т =
const,
основанием
и ординатами λ и
,
определяет количество энергии излучения
dEsи называется
плотностью
ин­тегрального излучения

абсолютно черного тела для длин волн
.
Вся же площадь между любой кривой Т
= const и осью абсцисс равна интегральному
излучению черного тела в пределах от
λ=0 до
λ= ∞
при
дан­ной температуре, или

,
(9.5)

где σs
= 5,67·10-8
Вт/(м2·К4)
– постоянная Стефана- Больцмана.

Таким образом,
плотность интегрального полусферического
излуче­ния (тепловой поток) абсолютно
черного тела прямо пропорциональна
абсолютной температуре в четвертой
степени.

Обычно в технической
литературе закон Стефана– Больцмана
пишут в следующем виде

,
(9.6)

где Cs
– коэффициент излучения абсолютно
черного тела

Cs=
5,67 Вт/[м2/(К4)].

Все реальные тела,
используемые в технике, не являются
абсолют­но черными и при одной и той
же температуре излучают меньше энер­гии,
чем абсолютно черное тело. Излучение
реальных тел также за­висит от
температуры и длины волны. Чтобы законы
излучения черного тела можно было
применить для реальных тел, вводится
понятие о сером теле и сером излучении.
Под серым из­лучением понимают такое,
которое, аналогично излучению черного
тела, имеет сплошной спектр, но
интенсивность лучей для каждой волны
длины

при любой температуре составляет
неизменную долю от интенсивности
излучения черного тела

(рис. 9.2). Следователь­но, должно
существовать следующее соотношение

.
(9.7)

Величину

называют спектральной степенью
черноты.

Она зависит от физических свойств тела.
Степень черноты серых тел всегда меньше
единицы.

Большинство
реальных твердых тел с определенной
степенью точ­ности можно читать серыми
телами, а их излучение – серым излyчением.

Плотность
интегрального излучения серого тела
равна

.
(9.8)

Плотность
интегрального излучения серого тела
составляет долю, равную

от плотности интегрального излучения
абсо­лютно черного тела.

Величину

Вт/
на­зывают коэффициентом
излучения серого тела.

Величина С
реальных тел в общем случае зависит не
только от физических свойств тела, но
и от состояния поверх­ности или от ее
шероховатости, а также от температуры
и длины волны.

Первый закон излучения Вина

В
1893 году Вильгельм
Вин, воспользовавшись, помимо
классической термодинамики, электромагнитной
теорией света, вывел следующую формулу:

,

где:

  •  —
    плотность энергии
    излучения

  •  —
    частота излучения

  •  —
    температура
    излучающего тела

  •  —
    функция, зависящая
    только от частоты и температуры. Вид
    этой функции невозможно установить,
    исходя только из термодинамических
    соображений.

Первая
формула Вина справедлива для всех
частот. Любая более конкретная формула
(например, закон Планка) должна
удовлетворять первой формуле Вина.

Из
первой формулы Вина можно вывести закон
смещения Вина (закон максимума) и закон
Стефана — Больцмана, но нельзя найти
значения постоянных, входящих в эти
законы.

Исторически
именно первый закон Вина назывался
законом смещения, но в настоящее время
термином «закон смещения Вина» называют
закон максимума.

Переход к формулам Рэлея — Джинса

Формула Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всём интервале частот от 0 до ∞{\displaystyle \infty }. При малых частотах (больших длинах волн), когда ℏωkT≪1{\displaystyle {\hbar \omega \over kT}\ll 1}, можно разложить экспоненту по ℏωkT{\displaystyle {\hbar \omega \over kT}}. В результате получим, что

exp(ℏωkT)−1≈1+ℏωkT−1=ℏωkT,{\displaystyle \mathrm {exp} \left({\hbar \omega \over kT}\right)-1\approx 1+{\hbar \omega \over kT}-1={\hbar \omega \over kT},}

тогда и переходят в формулу Рэлея — Джинса.

uω(ω,T)=kTω2π2c3,{\displaystyle u_{\omega }(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}},} и
Bω(ω,T)=kTω24π2c2.{\displaystyle B_{\omega }(\omega ,T)=kT{\frac {\omega ^{2}}{4\pi ^{2}c^{2}}}.}

Вывод для абсолютно чёрного тела

Излучение абсолютно чёрного тела

Вследствие линейности уравнений электромагнитного поля, любое их решение может быть представлено в виде суперпозиции монохроматических волн; каждая — с определённой угловой частотой ω{\displaystyle \omega }. Энергия поля может быть представлена как сумма энергий соответствующих полевых осцилляторов. Как известно из квантовой механики, энергия осциллятора принимает дискретные значения, согласно следующей формуле:

En=ℏω(n+12).{\displaystyle E_{n}=\hbar \omega (n+1/2).}

Поскольку рассматривается равновесное излучение, то, используя каноническое распределение Гиббса, можно определить вероятность состояния осциллятора с заданной энергией:

Wn=1Z⋅exp(−EnkT).{\displaystyle W_{n}={1 \over Z}\cdot \mathrm {exp} \left(-{E_{n} \over kT}\right).}

Статистическая сумма Z{\displaystyle Z} равна:

Z=∑exp(−ℏωkT⋅(n+12))=exp(−ℏω2kT)⋅∑exp(−ℏωkT)n=exp(−ℏω2kT)1−exp(−ℏωkT).{\displaystyle Z=\sum \mathrm {exp} \left(-{\hbar \omega \over {kT}}\cdot (n+1/2)\right)=\mathrm {exp} \left(-{{\hbar \omega } \over {2kT}}\right)\cdot \sum \mathrm {exp} \left(-{{\hbar \omega } \over {kT}}\right)^{n}={\frac {\mathrm {exp} \left(-{{\hbar \omega } \over {2kT}}\right)}{1-\mathrm {exp} \left(-{{\hbar \omega } \over {kT}}\right)}}.}

Свободная энергия Ψ{\displaystyle \Psi } равна:

Ψ=−kT⋅ln⁡Z=ℏω2+kT⋅ln⁡(1−exp(−ℏωkT)).{\displaystyle \Psi =-kT\cdot \ln Z={\frac {\hbar \omega }{2}}+kT\cdot \ln \left(1-\mathrm {exp} \left(-{\hbar \omega \over kT}\right)\right).}

Для средней (математическое ожидание) энергии ε¯{\displaystyle {\overline {\varepsilon }}} воспользуемся уравнением Гиббса — Гельмгольца:

ε¯=∑(WnEn)=Ψ−(kT⋅∂(Ψ)∂(kT))=(kT)2⋅∂(ln⁡Z)∂(kT)=(kT)2⋅(ℏω2(kT)2+exp(−ℏωkT)⋅ℏω(kT)21−exp(−ℏωkT)){\displaystyle {\overline {\varepsilon }}=\sum (W_{n}E_{n})=\Psi -\left(kT\cdot {\frac {\partial (\Psi )}{\partial (kT)}}\right)=(kT)^{2}\cdot {\frac {\partial (\ln Z)}{\partial (kT)}}=(kT)^{2}\cdot \left({\frac {\hbar \omega }{2(kT)^{2}}}+{\frac {\mathrm {exp} \left(-{{\hbar \omega } \over {kT}}\right)\cdot {\hbar \omega \over (kT)^{2}}}{1-\mathrm {exp} \left(-{\hbar \omega \over kT}\right)}}\right)};

таким образом — средняя энергия ε¯{\displaystyle {\overline {\varepsilon }}}, приходящаяся на полевой осциллятор, равна:

ε¯=ℏω2+ℏωexp(ℏωkT)−1{\displaystyle {\overline {\varepsilon }}={\frac {\hbar \omega }{2}}+{\frac {\hbar \omega }{\mathrm {exp} \left({\hbar \omega \over kT}\right)-1}}},(1)

где ℏ{\displaystyle \hbar } — постоянная Планка, k{\displaystyle k} — постоянная Больцмана.

Количество же стоячих волн в единице объёма в трёхмерном пространстве, в интервале (ω;ω+dω){\displaystyle (\omega ;\omega +d\omega )}, равно:

dnω=ω2dωπ2c3{\displaystyle \mathrm {d} n_{\omega }={\frac {\omega ^{2}\mathrm {d} \omega }{\pi ^{2}c^{3}}}}.(2)

Следовательно, для спектральной плотности мощности электромагнитного излучения получаем:

u(ω,T)=ε¯dnωdω=ℏω32π2c3+ℏω3π2c3(exp(ℏωkT)−1),{\displaystyle u(\omega ,T)={\overline {\varepsilon }}{\frac {\mathrm {d} n_{\omega }}{\mathrm {d} \omega }}={\frac {\hbar {\omega }^{3}}{2\pi ^{2}c^{3}}}+{\frac {\hbar {\omega }^{3}}{\pi ^{2}c^{3}\left(\mathrm {exp} \left({\hbar \omega \over kT}\right)-1\right)}},}

где первое слагаемое связано с энергией нулевых колебаний, а второе — это и есть формула Планка.

Формулу Планка также можно записать и через длину волны:

up(λ,T)=4π2ℏc2λ5(exp(2πλℏckT)−1){\displaystyle u_{p}(\lambda ,T)={\frac {4\pi ^{2}\hbar c^{2}}{\lambda ^{5}\left(\mathrm {exp} \left({{2\pi \over \lambda }{\hbar c \over kT}}\right)-1\right)}}}.(5)

Вывод, исходя из распределения Бозе — Эйнштейна

Фотоны являются бозонами и подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна. Для этой статистики, среднее число частиц с данной энергией ε{\displaystyle \varepsilon } равно:

n¯(ε)=1exp(εΘ)−1.{\displaystyle {\overline {n}}(\varepsilon )={\frac {1}{\mathrm {exp} ({\varepsilon /\Theta })-1}}.}

По определению:

u(ε)dε=εn(ε)dN(ε),{\displaystyle u(\varepsilon )\mathrm {d} \varepsilon =\varepsilon n(\varepsilon )\mathrm {d} N(\varepsilon ),}

где dN=ε2dεπ2c3ℏ3{\displaystyle \mathrm {d} N={\frac {\varepsilon ^{2}\mathrm {d} \varepsilon }{\pi ^{2}c^{3}\hbar ^{3}}}} — число осцилляторов (в единице объёма) электромагнитного поля с данной энергией, в бесконечно малой окрестности ε=ℏω{\displaystyle \varepsilon =\hbar \omega }.

Подставив формулу среднего числа бозонов с данной энергией в эту формулу, получим формулу Планка.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Андрей Измаилов
Наш эксперт
Написано статей
116
Добавить комментарий